【DeepLearning】logやら自然対数の底eについて、自分メモ！
Deep Learning とは何なのか・・・まったく知らない状態から挑戦してみたいと思います！ 
数学のlogとのかかわり
〇〇年前に学校で授業を受け、「こんなもの、生活のどこで使うんだよ・・・」と叫んだ時期がありました。
あの時の自分に教えてあげたい😫
まさかこんなところで使用することになろうとは・・・。
おさらい
「log」は、数学の分野でよく使われる記号の一つで、「対数」と呼ばれるものを表します。
対数とは数字を別の形で表す方法です。
たとえば、log10(100)という場合、10を何乗したら100になるかということを考えます。つまり、10の何乗が100になるかということです。答えは、10を2乗したときに100になるので、log10(100)は2になります。
また、logの底を変えると、結果も変わってきます。例えば、2を底とする場合のlog2(8)は、2を何乗したら8になるかを表します。答えは、2を3乗したときに8になるので、log2(8)は3になります。
なぜ「数字を別の形で表そうぜ！」と考えられたのか。
対数が発明された時代は、17世紀のこと。
当時は科学技術が急速に発展し天文学や測量学などの分野で正確な計算が求められていました。
しかし、当時の計算機器や計算方法では大きな数値や小さな数値を扱うことが困難でした。
そのため、「数字を別の形で表そうぜ！」という運動が起こり(?)、対数が開発され、科学技術の発展に大きく貢献してきました。
「底」とは？
「底」とは、対数の計算で使用する基準となる数のことを指します。
対数は、底と呼ばれる数を指定し、その底に対して対数を計算します。例えば、底が2の場合の対数を計算する場合、2を何乗すれば対象となる数が得られるかを求めます。対数の公式は以下の通りです。
loga(b) = c
「a」が底で、「b」が対象となる数、「c」が計算結果の対数です。この式を読むときは、「aを何乗したらbになるか」という意味です。
対数の底には、主に10や自然対数の底である「e」が使われることが多いとのことです。
自然対数とは？
自然対数とは、対数の底が自然数の「e」である場合の対数のことを指します。
ややこしい・・・自然数のことでしょうか？
自然数とは、1、2、3、4、5、…といった0や負の数を含まない正の整数のことを言います。
「自然数」は2種類(?)ありそうです。
- 自然数・・・自然数とは、1、2、3、4、5、…といった0や負の数を含まない正の整数のこと
- 自然対数の底であるe・・・2.71828…という数で、自然対数関数(ln)を定義するための基準として使用される。
eは無理数であり、指数関数f(x) = e^xのxが1のときの値としても定義されます。
eは微積分学や物理学、工学、経済学などの分野で頻繁に使われる重要な定数。(重要)
誰が「自然対数の底であるeは2.71828という無理数である」と宣言したのでしょうか？
自然対数の父
「自然対数の底であるeが2.71828という無理数である」という宣言は、数学者レオンハルト・オイラーによってされました。
オイラーは、18世紀に活躍したスイスの数学者で、多数の業績を残し数学の発展に大きな貢献をしました。
彼は、自然対数関数や三角関数の表現を新しい方法で解析し、多くの定理を証明しました。
その中で、eが無理数であることを示したのが有名です。
彼はeに関する多くの性質を発見し、eを「自然対数の底」として使うことが定着するきっかけとなりました。
そして、数学の世界では一般的に「e」と言えば、自然対数の底を指すことになったそうです。
すごい影響力です！
場合によっては文脈によって異なる意味を持つこともあるようです。
たとえば、電気工学や物理学の分野では、複素数平面上での角度を表す単位として「e^(iθ)」がよく使われますが、
この場合の「e」は自然対数の底ではなく単位円の周囲を回る指数関数の底として使われています。
後に「2.71828という無理数」は「ネイピア数」として名付けられました。
「ネイピア数」という名前は、17世紀に活躍したスコットランドの数学者であるジョン・ネイピアに由来します。
彼は対数の発明者の一人として知られており、現代的な対数の概念を導入する前に対数表を用いた計算方法を考案しました。
後に、この数値が自然対数の底であることがわかりネイピアの名前にちなんで「ネイピア数」と呼ばれるようになりました。
自然対数のeは省略される場合がある
これが初学者殺しだと私は思います😑
数学の世界では自然対数のeに限らず、省略する場合としない場合があったりします。
数学者しか理解できないような数式って・・・。
省略されるかどうかはその数式を書く人が数式が表す内容を正確に伝えるために、より適切と考えた表記方法を選択することによって決定されます。
一般的に、数学の世界では、表現の正確さが非常に重視されるらしです。
数式を書く人は数式の内容を正確に伝えるために省略するかどうかを適切に判断しなければなりません。
ただし初学者にとっては省略される場合とされない場合の違いがわかりにくい・・・。
自然対数の難しさ
「log(100) ただし、底は自然対数のeである」という問題について、中学生レベルの数式では表現が困難なのだそうです。
2.71828を何乗したら100になる(近づく)のか・・・。
次のように自然対数の定義を使って表現することができるらしいです。
log(100) = ln(100) / ln(e)
ここで、lnは自然対数を表します。(log_e x = ln xということで簡略化できて素敵でしょ！ということ・・・らしいです)
ln(e)は1に等しくなるため上記の式は次のように簡単化できます。
log(100) = ln(100)
ln(100)は自然対数の100に対する値で、次のように求めることができます。
ln(100) = ln(10 × 10) = ln(10) + ln(10)
ln(10)は約2.3026であるため、ln(100)は約4.6052となります。
したがって、
log(100) ≈ 4.6052
ん～・・・さらに精進します！